Fils d'un chirurgien-gynécologue, Claude Giraud grandit à Clermont-Ferrand où son oncle possède plusieurs salles de cinéma.

C'est à dix-neuf ans que, jeune bachelier, il annonce à son père qu'il veut devenir acteur. Il monte alors à Paris où il s'inscrit en licence de lettres à la Sorbonne pour rassurer ses parents. C'est par Pierre Fresnay qu'il rencontre Henri Rollan.

Élève de Tania Balachova au Vieux-Colombier, de Berthe Bovy et de Jean Meyer au Centre d'art dramatique de la rue Blanche, puis de Debucourt et de Fernand Ledoux au Conservatoire national d'art dramatique, il remporte au concours de 1962 les trois premiers prix (Tragédie, Comédie classique, Comédie moderne), une première chez les hommes, ce qui lui ouvre les portes de la Comédie-Française.

Carrière, Au théâtre
Claude Giraud débute à la Comédie-Française dans Valère de L'Avare, joue Arsace dans Bérénice, le récitant du Retour de l'enfant prodigue d'André Gide. Déçu qu'on ne lui confie que des petits rôles, il quitte une première fois la Comédie-Française en 1963 pour aller tourner Un roi sans divertissement, film de François Leterrier d'après Jean Giono (Grand prix du cinéma français). La Comédie-Française lui intente un procès pour rupture de contrat, qu'elle perd en appel.

Premier lauréat du prix Gérard-Philipe (1962), il reçoit le Theater World Award de New York en 1964 pour ses rôles de Titus et d'Hippolyte dans Bérénice et Phèdre avec Marie Bell.

Claude Giraud retrouve la Comédie-Française en 1972, et en devient le 460e sociétaire en 1976. Il la quitte fin 1982 pour participer à la création de la compagnie de Jean-Laurent Cochet au théâtre Hébertot où, à l'instar de sa « maison » précédente, plusieurs spectacles sont donnés en alternance, Le Misanthrope, Dom Juan, 29 degrés à l'ombre, La Parisienne, Le Pain de ménage, etc. Sans oublier les soirées poétiques avec : Au pays de Papouasie, Le Cœur innombrable, La Difficulté d'être, Arbres de vie, etc. Charlotte Corday de Daniel Colas, mise en scène de l'auteur, Petit-Hébertot. Il joue régulièrement jusqu'en 2005.

À la télévision
Claude Giraud a joué de nombreux rôles à la télévision dont Lord Roger Mortimer dans la série Les Rois maudits aux côtés de Jean Piat (1972), Morgan ou Jacques de Sainte-Hermine, le chef des Compagnons de Jéhu (1966) et le père de Sébastien, Pierre Maréchal, dans Sébastien parmi les hommes (1968), aux côtés de Mehdi El Glaoui. Il est Cinna (1962) devant la caméra de Jean Kerchbron, Œdipe (1963) dans La Machine infernale de Jean Cocteau, réalisation Claude Loursais, Cléante aux côtés de Delphine Seyrig et Michel Bouquet dans Le Tartuffe (réalisation de Marcel Cravenne, 1971), Mehdi Ben Barka dans La guerre du pétrole n'aura pas lieu (1974) de Souheil Ben Barka et donne la réplique à Claude Jade dans Mamie Rose (1975) de Pierre Goutas, dans lequel ils jouent un couple en crise. En 1981, il est Maxime d'Aurillac dans Les Fiancées de l'Empire9 de Jacques Doniol-Valcroze.

Au cinéma
Au cinéma, il est le capitaine de gendarmerie Langlois dans le film de François Leterrier, Un roi sans divertissement (1963) adapté du roman éponyme de Jean Giono, qui signe lui-même l'adaptation et produit le film ; Georges aux côtés de Marie Dubois, Anna Karina et Maurice Ronet dans La Ronde de Roger Vadim (1964) ; Philippe de Plessis-Bellière dans la série des Angélique (1964-1966) ; Hippolyte dans Phèdre, interprétée par Marie Bell, film de Pierre Jourdan (1968). Il reste plus connu du grand public pour son rôle de Slimane dans Les Aventures de Rabbi Jacob (1973) de Gérard Oury.

Doublage
C'est aussi en tant que comédien de doublage que Claude Giraud s'est imposé depuis les années 1970, prêtant principalement sa voix à Robert Redford (Nos plus belles années, Les Hommes du président, Un pont trop loin, Out of Africa, L'Homme qui murmurait à l'oreille des chevaux), Mel Gibson (L'Année de tous les dangers de Peter Weir, Le Bounty de Roger Donaldson), Warren Beatty (John McCabe de Robert Altman), Tommy Lee Jones (Le Fugitif, US Marshals, Men in Black), Harrison Ford (Les Aventuriers de l'arche perdue), Sean Connery (Le Nom de la rose), Alan Rickman (Harry Potter, Sweeney Todd et Michael Collins) et Liam Neeson (La Liste de Schindler, Batman Begins et Hantise). Il est également la voix française d'Ulysse dans la série animée Ulysse 31 (1981). Il double Robert Redford dans la bande-annonce du film Sous surveillance en 2012 mais, ayant pris sa retraite avant la sortie en salles, est remplacé pour le doublage du film par Patrick Béthune ; sa voix est encore utilisée en 2014 dans Les Luminessences d'Avignon, un spectacle en 3D dans la cour d'honneur du Palais des papes.

Mort
Claude Giraud meurt le 3 novembre 202011 à Saint-Priest-des-Champs (Puy-de-Dôme).

Vie privée
Claude Giraud a été marié à la comédienne Catherine Demanet (morte en 2012) dont il a eu deux enfants : Louis (né en 1964) et Marianne (née en 1966)13,14. Vivant en province, il a élevé des petits chevaux Connemara durant de nombreuses années.

Distinctions
chevalier des Arts et Lettres.